机械设计实用计算之压杆稳定性计算

压杆：承受轴向压缩的杆件。

工程实际中常见的压杆，如内燃机中曲柄连杆机构、翻斗车翻斗的液压起落架、桁架结构中的抗压干、建筑中的立柱等。

压杆稳定性计算主要解决以下三方面的问题：

1)稳定性校核；

2）选择截面；

3）确定许用载荷。

注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此在稳定性计算中横截面面积一般取毛面积计算。压杆的折减系数φ（或柔度λ）受截面形状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。

一、压杆的稳定条件

n=Fcr/F=nst

式中：

F一一压杆的工作应力;

Fcr一一压杆的临界力；

nst一一规定的稳定安全系数。

常用零件的稳定安全系数参考值
常用零件	稳定安全系数nst
金属结构中的压杆	1.8~3.0
矿山、冶金设备中的压杆	4~8
机床走刀丝杆	2.5~4
空压机及内燃机连杆	3~8
水平长丝杠或精密丝杠	＞4
磨床油缸活塞杆	4~6
低速发动机挺杆	4~6
高速发动机挺杆	2~5
起重螺旋	3.5~5
拖拉机转向纵、横推杆	＞5
铸铁	4.5~5.5
木材	2.5~3.5
注：除铸铁和木材外其余均为钢制杆。

注：

通常稳定安全系数高于强度安全系数。这是因为一些难于避免的因素，如杆件轴线不绝对平直（初弯曲），压力偏心，材料不均匀和支座缺陷等，都将严重地影响着压杆的稳定性。

压杆横截面如有局部削弱（如螺栓孔、铆钉孔等），在计算其临界力时仍用毛面积，因为局部削弱对临界力的影响很小。但在作强度校核时仍需采用削弱后的净面积。

二、压杆的临界力计算

如上图所示的两端铰支的细长杆件。假设压力与杆件轴向重合，当施加的压力逐渐增加，但小于某一临界值时，压杆已知保持其直线形状的平衡。此时如在微小的干扰力作用下，将发生微小的弯曲变形，如图a，扰动去除后，能够恢复到原来的直线形状，如图b，则称原来的直线形状的平衡是稳定的。当施加的压力大于某一临界值，在微小的干扰作用下，将发生微小的弯曲变形，将干扰除去后，它将保持弯曲状态的平衡，不能恢复到原来的直线状态，则称原来的直线平衡是不稳定的。上述压力临界值，称为临界压力或临界力，用Fcr来表示。

不同约束的压杆的临界压力表达式统一表达为：

式中：

μ一一长度系数，反映不同约束情况对临界应力的影响，

长度系数μ的取值：两端铰支，取μ=1；一端固定、另一端铰支，取μ=0.7;两端固定，取μ=0.5；一端固定、另一端自由，取μ=2；

l一一杆件长度；

μl一一相当长度。

1)两端铰支长为l的细长压杆，

其临界力公式：

式中：

E一一压杆材料的拉压弹性模量；

I一一压杆两端为球铰支座时，压杆横截面的最小轴惯性矩。

上式称为临界载荷的欧拉公式，该载荷又称为欧拉临界载荷。

2)一端固定、另一端自由，长为l的压杆，临界力，应等于两端铰支，长为2l的压杆的临界力。

临界力大小为：

3）两端固定, 长为l的细长压杆

其临界力为：

3）一端固定，另一端铰支长为l的压杆

其临界力为：

4）一端固定，另一端可以平动，但不能转动长为l的压杆压杆。

其临界力（与两端铰支相同）为：

三、计算压杆的柔度：

根据应力公式：

用临界压力Fcr除以压杆的横截面面积A，所得到的应力称为压杆的临界应力，用σcr表示，即：

则压杆的临界应力表达式可改写为：

又令

则有

式中：λ是一个量纲为1的量，称为柔度或长细比。柔度集中反映了杆件杆长约束情况、截面形状和尺寸等对临界应力的综合影响。且由上式可知，柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳。

欧拉公式的适用范围是只有当压杆中的应力不大于材料的比例极限σp，即

则只有当λ＞λp时，欧拉公式才成立。

把λ＞λp的杆称为大柔度杆或细长杆。λp取决于压杆材料的弹性模量E和比例极限σp。

欧拉公式只适用于大柔度杆。

若柔度较小的杆（λ≤λs），即长度短且截面尺寸大的杆，称为小柔度杆或粗短杆。由于柔度很小不致于失稳，所以它的破坏形式主要是强度不足，因此，临界应力为σcr=σs（塑性材料:屈服极限σs）或σcr=σb（脆性材料：强度极限σb）。

若柔度在λs≤λ≤λp的压杆，称为中柔度杆或中长杆。通常采用经验直线公式（雅辛斯基公式）计算。

式中：a和b是与材料性质有关的常数，参见下表。

常用材料的相关参数
材料	a/MPa	b/MPa	λp	λs
Q235钢	304	1.2或1.12	100	60
优质碳钢	461	2.57	100	60
铬锰钢	980	5.29	55	-
铸铁	332	1.45	80	-
硬铝	372	2.14	50	-
木材	28.7	0.19	110	-

由上式可知，当材料为塑性材料时，最大的应力为σs，所以可得

临界应力总图反映了临界应力σcr随压杆柔度λ变化的情况。

总结：

四、横截面的惯性矩（也叫截面二次矩、二次轴矩）计算

（注意区分：静矩也叫一次矩；惯性矩也叫二次矩；静矩可用于求形心坐标）

如上图所示，在平面图形上取一微面积dA，dA于其坐标平方的乘积y^2dA、z^2dA分别称为该微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，它们在整个图形范围内的定积分分别称为整个平面图形对z轴和y轴的惯性矩（截面二次矩）。

微面积dA与它到坐标原点的距离的平方的乘积ρ^2dA，在整个图形范围内的定积分称为平面图形对坐标原点的极惯性矩。

由上图可知，ρ^2=y^2+z^2，所以，

该式表示平面图形对于位于图形平面内某点的任一对相互垂直坐标轴的惯性矩之和是一常量，恒等于它对该点的极惯性矩。

工程实际中，常将图形对某轴的惯性矩表示为图形面积与某一长度平方的乘积，即

式中：

iz、iy一一分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径，常用单位为米（m）或毫米（mm）。

常见几何截面的惯性矩（更多内容参见相关资料）

（1）图形：

惯性矩：

抗弯截面系数：

惯性半径:

（2）图形：

惯性矩：

抗弯截面系数：

惯性半径：

（3）图形：

惯性矩：

抗弯截面系数：

惯性半径：

（4）图形：

惯性矩：

抗弯截面系数：

惯性半径：

（5）图形：

惯性矩：

抗弯截面系数：

惯性半径：

不巧的是，工程实际中有许多梁的截面形状比较复杂，但是，这些复杂的截面形状可分解为几个简单图形的组合。组合图形对z轴的惯性矩（截面二次矩）等于各组成部分对z轴的惯性矩的代数和。

一般情况下，中性轴z不可能通过各个组成部分的形心，因此计算时需要用到平形移轴公式。

平形移轴定理：截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。

注：

1）中性轴:

由弯曲变形的平面假设可知，梁的横截面在变形后仍保持为平面，并垂直于变形后的轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度。设想梁是由无数层纵向纤维组成，可知由于变形的连续性，由凹入侧纤维的缩短，连续地改变为凸出侧的伸长，中间必定有一层纤维的长度不变，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线，称为该横截面的中性轴。（梁弯曲时，横截面就是绕着中心轴转动的。）

2）中性轴过形心。

3）图形的形心坐标公式：

静矩

如图所示，在平面图形上取一微面积dA，dA于其坐标的乘积ydA、zdA分别称为该微面积dA对z轴和y轴的静矩，它们在整个图形范围内的定积分分别称为整个平面图形对z轴和y轴的静矩（也叫一次矩）。

形心坐标

均质板的重心和形心重合，由静力学力矩定理可知，均质薄板的重心坐标公式为：

因为整个图形对某轴的静矩，等于图形各部分对同一轴静矩的代数和，所以组合图形的形心坐标：

值得注意的是：

（1）静矩

①同一截面对于不同的坐标轴，其静矩也不同；

②静矩之值可正、可负，也可为零；

③静矩的国际单位制为m^3、mm^3等。

（2）形心位置

①某一截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心，反之截面对于通过形心的轴的静矩必等于零；

②截面各组成部分对某一轴的静矩之代数和就等于该截面对同一轴的静矩。

（3）惯性矩、惯性积和惯性半径

①同一截面对不同坐标轴的惯性矩或惯性积都随坐标轴位置的不同而不同；

②惯性矩之值恒为正；

③惯性积之值可正、可负，也可为零；

④只要截面具有一个对称轴，则对于包括此轴在内的坐标轴x、y的惯性积Ixy就恒等于零。

物体的重心、质心和形心概念

重心:

物体的重力即为地球对它的吸引力。物体的重力分布于各质点上，且为铅垂向下的平行力系。而重力就是重力系的合力，重力系的重心称为物体的重心。

质心：

在地球表面，物体上各点的重力加速度不变。

形心：

均质物体的形心位置与密度无关，它是一个完全由物体的几何形状所决定的一个几何点，这样的点称为物体的形心，对均质物体，其重心、质心和形心重合。

惯性矩&静矩计算示例：

例1、求下图圆平面对y、z轴的惯性矩。

解：

建立y0z坐标系，取微元面积dA=2zdA，则:

例2、求矩形对对称轴y、z的惯性矩。

解：

例3、试确定下图的形心C的位置。

解：

五、压杆的稳定性计算

对于大柔度杆的临界应力可以按欧拉公式计算，中柔度杆的临界应力可以按直线经验公式计算，小柔度杆的临界应力等于其屈服应力。由公式

可得出各类杆件的临界压力。把临界压力Fcr与工作压力F的比值称为工作安全系数，用n来表示，它应该大于规定的稳定安全系数nst，即

稳定许用安全系数的选取，一般应大于强度安全系数。

六、压杆的稳定性计算实例

压杆长度（μl）计算（相当长度）：

两端铰支取L;两端固定取0.5L；一端固定、另一端铰支取0.7L；一端固定、另一端自由取2L。

计算示例：

例1、如下图所示是平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径D=0.065m，油压p=1.2MPa。活塞杆长度l=1.25m，材料为45钢，σp=280MPa，弹性模量E=210GPa，安全系数nst=6。求活塞杆的直径。

解：

1）轴向压力计算

2）临界压力计算

3）活塞杆柔度计算(μ为长度系数，μl为相当长度)（初选直径d=0.025m）

对45号钢

因为，λ＞λp，满足欧拉公式的条件。

4）确定活塞杆的直径（相当于两端铰接）

最小惯性矩：

例2、一端固定、一端自由的矩形截面钢柱，长度l=1.5m，截面尺寸为50mmx80mm，钢的弹性模量E=200GPa，比例极限σp=250MPa。试求此钢柱的临界力。

解：

1）计算横截面的最小惯性矩

2）最小惯性半径为

3）钢柱的柔度为

而

所以，λ≥λp,

此钢柱属于大柔度杆（细长杆）。

4）临界力为

例3、冲头简化结构如下图，冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为F=400kN，冲头的直径为冲裁的最小孔内径d=35mm，冲头长度为L=300mm，试校核其稳定性。

解：

1）由材料性能可知（查表）

λp=100，λs=60,a=461MPa,b=2.57MPa

2）计算杆件的柔度（一端固定、另一端自由）

3）判断杆的类型

故该杆件为中柔度杆

4）计算临界载荷（按经验公式，直线公式（还有抛物线公式））

5）稳定性校核

可见，冲头设计是不合理的，应该减小冲头的长度，以增强其在冲裁钢板时的稳定性。

例4、如下图所示托架结构，已知托架D处承受载荷F=10kN。AB杆外径D=50mm，内径d=40mm，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa。λp=100，安全系数[nst]=3。校核AB杆的稳定性。

解：

受力分析如下图所示

1)取CD梁为研究对象

解得

因此，AB杆为大柔度杆（满足欧拉公式使用条件）

所以，AB杆满足稳定性要求。

例5、如下图所示细长压杆，一端固定另一端自由。已知其材料弹性模量E=10GPa，长度l=2m。试求①h=160mm，b=90mm和②h=b=120mm两种情况下压杆的临界压力。

解：

1）计算①情况下的临界力截面对y，z轴的惯性矩分别为：

由于Iy＜Iz，所以压杆必然绕y轴弯曲失稳，因此最小截面惯性矩为Iy。

根据压杆的类型可知，杆端约束取μ=2，即：

2）计算②情况下的临界压力，截面对y，z轴的惯性矩相等，均为

 由计算结果可知，两种压杆的材料用量相同，但情况②的临界力是情况①的1.78倍，很显然，杆件合理截面形状是提高杆件稳定性的措施之一。

例6、如下图所示为一曲柄滑块机构的连杆（正视图和俯视图）。已知连杆材料为Q235钢，连杆承受轴向压力为100kN，稳定安全系数nst=3，试校核连杆的稳定性。

解：

1）计算杆件柔度

由于连杆在不同平面内的约束条件不同，因此必须计算两个方向的柔度。

如果连杆在xy平面内失稳，连杆两端可视为铰支座，长度系数μ=1。此时中性轴为z轴，惯性半径为

则柔度为

如果连杆在xz平面内失稳，连杆两端可视为固定端，长度系数μ=0.5。此时中性轴为y轴，惯性半径为

柔度为

由于λy＞λz，故压杆在xy平面内的稳定性大于在xz平面内的稳定性。所以应以λy计算临界压力和临界应力。

2）临界压力计算

对于Q235钢制的压杆，其极限柔度λp=100，λs=61.6，

λs＜λ＜λp，故压杆为中柔度杆，用经验公式计算临界应力

查表可知a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有

临界压力为

4）讨论

由于λy≠λz，连杆在两个平面内的稳定性不相等。欲使连杆在xy和xz两个平面内的稳定性相等。则必须有λy＝λz，即

上式表面，欲使连杆在两个平面内的稳定性相等，在设计截面时，应保持Iz≈4Iy，对于本例中的矩形截面，则须有

则

h≈2b

此时，可保证连杆在两个平面内的稳定性相等。

例7、如下图所示结构，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面杆，其直径为d=20mm，二者材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，σs=235MPa。强度安全因数ns=1.45，稳定安全因数nst=1.8。试校核此结构是否安全？

解：

在给定的结构中共有两个构件：梁AB，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压缩载荷，属于稳定问题。现分别校核如下：

1）大梁AB的强度校核

大梁AB在截面C处弯矩最大，该处截面为危险截面，该截面的弯矩和轴力分别为：

Q235钢的许用应力为

σmax略大于[σ]，但并没有超出许用应力的5%，工程上仍认为是安全的。

2）压杆CD的稳定性校核

由平衡方程求得压杆CD的轴向压力

因为是圆截面杆，故惯性半径为

又因为两端为球铰约束，长度系数取μ=1，所以杆件的柔度为

这表明，压杆CD为非细长杆，采用线性公式计算其临界应力

于是，压杆的工作安全因素为

这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。

例8、如下图所示，一压杆由两个等边角钢（140x140x12）组成，用直径d=25mm的铆钉联接成一个整体。杆长l=3m，两端铰支，承受轴向压力F=700kN。压杆材料为Q235钢，许用应力[σ]=100MPa，稳定安全系数nst=2。试校核压杆的稳定性及强度。

解：

1）计算压杆柔度

由于截面为组合截面，因此必须分析截面对y和z轴的惯性矩。

查型钢表可得单根角钢截面几何性质为：

由于Iz＜Iy，因此截面将绕中性轴z轴转动，此时最小惯性半径为iz，则

所以压杆为中柔度杆。

2）稳定性校核

由直线公式得临界应力为

故满足稳定条件。

3）强度校核

由于有局部削弱，因此进行强度校核时，必须考虑削弱对强度的影响，削弱后的截面面积为

4）讨论

由以上计算分析可见，压杆有局部削弱时，在满足稳定条件的同时，强度条件可能不满足。因此，有局部削弱时，在进行稳定校核的同时要进行强度校核。工程实际中，应尽量避免对压杆的局部削弱，以免引起强度不足。

七、提高压杆稳定性的措施

欧拉公式

由欧拉公式可知，临界压力越大，杆件越稳定。

1）减小压杆长度l；

2）减小长度系数μ（增强约束）;

由公式

可知，柔度λ值与长度系数μ、杆长l成正比。因此可以从以下几个方面考虑：

①改善支承情况。μ值越小，杆件越不容易失稳，它的临界力就越大，因此采用μ值较小的支座形式可以提高压杆失稳的能力。

尽可能地采用两端为固定支座的形式，改善约束条件。

两端铰支的细长杆，变成两端固定约束，其临界载荷将显著增加（临界压力提高3倍，稳定性明显提高）。

②尽可能减少压杆长度。由于l越小，λ值越小，故此法也是增强压杆稳定性的一种有效措施。

根据实际情况恰当合理地增设中间约束，以“缩短杆长”。

若在两端铰支细长压杆的中间增加一个铰支座，则临界压力同样可提高3倍，稳定性也能明显提高。

一般来说，增加压杆的约束，使其不容易发生弯曲变形，都可以提高压杆的稳定性。

3）增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）;

当压杆在各个方向上具有相同的约束时，它的失稳总是发生在最小刚度平面内。在这种情况下，临界力将随着横截面的最小惯性半径的加大而增加，又因为

可见，在横截面一定的前提下，截面轴惯性矩I越大，则压杆抗失稳能力越大。

①使用空心圆截面的压杆要比实心圆截面的压杆经济、有利；

②尽量设计各个方向上的惯性矩I都趋向于相等的截面；

③与约束条件配合起来，使压杆在互相垂直的两个方向上的柔度λ相等，这种设计叫做等稳定性设计。

4）增大材料弹性模量E（合理选择材料）。

由公式

可知，临界载荷与材料的弹性模量E是正比关系，因此在提高压杆稳定性措施时，应考虑选择合理的材料。

但对于钢材，由于弹性模量E值相差不大（1.9~2.2）x10^6kg/cm^2，因此细长杆选用高强度钢或合金钢是不经济的，使用普通碳钢才较为经济。

对于其他材料，我们可通过分析E值来确定材料的使用是否经济。

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